一阶常系数非齐次线性微分方程求解

发布于 2021-02-18 05:04:58      浏览 461

一阶常系数非齐次线性微分方程求解

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1、 1.首先,可以直接使用DSolve开查看一阶常系数非齐次线性微分方程通解的形式。有一个未知常量C1,此外还含有一个积分。 2、 2.下面详细给出推演步骤(可手算)。 3、 首先,我们令【非齐次方程】这个符号存储我们的偏微分方程。 4、 3.接下来,首先去掉等号右边非齐次项,计算这个齐次方程的解 5、 我们保存为符号【齐次解】。 6、 4.接着,我们要算满足非齐次项的特解。 7、 我们把解中的常数C[1]替换为关于微分变量t的函数C[1][t]。 8、 把替换后的式子存储为符号【常数变易】。 9、 稍后,我们需要算出C[1][t]。 10、 5.然后,我们把替换后的这个【常数变易】(半成品的解)带回非齐次方程。 11、 这样,我们就得到了一个关于C[1][t]的方程,把这个方程存储到符号【求c的方程】。 12、 6.然后,我们求解这个求C[1][t]的方程。可以使用DSolve求解也可以容易的分离变量观察得出。把解出的C[1][t]命名为【C1t的替换】。 13、 7.然后,我们把这个【C1t的替换】替换到【齐次解】,就得到了一个满足原来非齐次方程的【特解】。 14、 8.【最终解】就等于【特解】+【通解】。使用如图代码合并两个解。这个解中只有一个未定常数C(只不过由于解相加相加写成了C[1]+C[2]) 15、 把【最终解】带入原方程,可见满足原方程。 16、 9.这里再给出了几个非齐次项已知的特殊情况,比如令f[t]=t或者e^t或者Sin[t]。

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