如何求解正交矩阵（以例子详细解答）其一
发布于 2021-08-18 16:33:08
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1.具体定义自己看书，我们直接上手题目：
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设对称矩阵
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|4 2 2 |
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A=|2 4 2 |
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|2 2 4 |
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求一个正交矩阵B，使B^TAB为对角矩阵，并写出该矩阵。
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我们遇到这题目应该想到先求A的特征根，如下图所示
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2.这里常用的矩阵求法为
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1)这种3x3的矩阵可以按纵（横）列利用代数余子式展开直接求解，即
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3.2）通过化为上三角或下三角（对于该题并不适用，过程太过繁琐）
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4.由前面我们求得特征根的值为2和8（两个值重叠了，即2，2，8）
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所以我们可得下图
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5.现在我们对每个特征根带入原式求基础解系
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具体来说就是原来的式子|入E-A|中的入应该被我们解出来的2，2，8重新带入
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1）把入=2带入可得（2E-A）X = 0
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即如下图所示
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6.现在，我们就应该开始解这个其次方程了，由于不是我们的重点，而且以前写过关于其次和非齐次方程的解法，就在这里简单说一下，具体请看下面的连接。
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我们得到的式子为-2x1-2x2-2x3=0;
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把x1当作未知数，x2，x3为参数可得
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-x1 = x2 + x3;
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(x2,x3)把他们的取值分别设为（1，0）（0，1）可得x1的值为-1；
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所以基础解系为X1（-1，1，0），X2（-1，0，1）
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66线性方程租的解法(非齐次方程和齐次方程)
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7.将X1，X2正交标准化得到：
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正交标准话，即单位化（把括号里的每个数值除于图2）
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8.同理得到 入=8 的基础解系（自己动手解决看看哦），光看不算等于不看
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9.用解得的单位解组成正交矩阵
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（注意：应该是纵向组成矩阵如图3）
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